Beweis des Satzes des Pythagoras

Wir werden nun den Satz des Pythagoras beweisen:

Aussage: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten. Genauer gesagt, wenn a und b die Katheten und c die Hypotenuse sind, dann gilt a 2 + b 2 = c 2 a^2 + b^2 = c^2 .

Beweis: Wir können den Satz algebraisch beweisen, indem wir zeigen, dass auf dieser Abbildung die Fläche des großen Quadrats der Fläche des inneren Quadrats (Hypotenuse zum Quadrat) plus der Fläche der vier Dreiecke entspricht:

( a + b ) 2 = c 2 + 4 ⋅ ( 1 2 a b ) a 2 + 2 a b + b 2 = c 2 + 2 a b a 2 + b 2 = c 2 \begin{align*} (a + b)^2 &= c^2 + 4 \cdot \left( \frac{1}{2} ab \right) \\ a^2 + 2ab + b^2 &= c^2 + 2ab \\ a^2 + b^2 &= c^2 \end{align*}